線形代数が分からない

早速勉強しようと思ったが、その前にまず解決すべき疑問があった。

そもそも線形代数ってなんだ？

授業/講義とかで必修だったからとりあえず「線形代数」を取ってはいたのだが、そもそもこの「線形代数」が何を取り扱っているのかをいまいち理解していない。その講義ではベクトルや行列を取り扱っていたが、「線形代数」のもともとの意味を知らないのであれば理解度が残念になるのは当然と言える*1。

まずは言葉の意味から改めて調べたいと思う。

線形

まずは「線形」で調べてみると、こんなページにたどり着いた。

高校数学における線形性の8つの例 | 高校数学の美しい物語

そこにはこう書かれていた。

関数などの演算 $f$ が，任意の $a,b,x,y$ に対して、
$f(ax+by)=af(x)+bf(y)$
を満たすとき， $f$ のそのような性質を線形性と呼ぶ。

$f(ax+by)=af(x)+bf(y)$ を満たす性質を線形性/linearityと呼ぶらしい。

線形性，（あるいは線型性とも書きます）は大雑把に言うと直線っぽいということを表しています。

直線っぽければ線形/linearらしい。

要は $f(ax+by)=af(x)+bf(y)$ を満たせば線形性を持つということらしい。同じページに高校数学における例も載っているので抜粋する。

切片が $0$ の一次関数

$\begin{eqnarray} f(x)&=&px \\ f(ax+by)&=&p(ax+by) \\ &=&p(ax)&+p(by) \\ &=&apx&+bpy \\ &=&af(x)&+bf(y) \end{eqnarray}$

総和

$\begin{eqnarray} \sum^{n}_{k=1}(ax_{k}+by_{k})&=&\sum^{n}_{k=1}(ax_{k})&+\sum^{n}_{k=1}(by_{k}) \\ &=&a \sum^{n}_{k=1}(x_{k})&+ b \sum^{n}_{k=1}(y_{k}) \end{eqnarray}$

極限

$\begin{eqnarray} \lim_{t \rightarrow a} (aX(t+h)+bY(t+h))&=&a \lim_{t \rightarrow a}X(t)+b\lim_{t \rightarrow a} Y(t) \end{eqnarray}$

微分と積分

$\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}(aX(t)+bY(t))&=&\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(aX(t+h)+bY(t+h))-(aX(t)+bY(t))}{h} \\ &=&\lim_{h \rightarrow 0}(\frac{aX(t+h)-aX(t)}{h}+\frac{bY(t+h)-bY(t)}{h}) \\ &=&\lim_{h \rightarrow 0}(a \frac{X(t+h)-X(t)}{h}+b \frac{Y(t+h)-Y(t)}{h}) \\ &=&a\frac{d}{dt}X(t)+b\frac{d}{dt}Y(t) \\ \\ \int(aX(t)+bY(t))dt&=&\int aX(t)dt + \int bY(t)dt \\ &=&a \int X(t)dt + b \int bY(t)dt \end{eqnarray}$