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前回、線形代数を学びなおすことにした。

なぜブログ形式で記事を書こうかと思ったかというと、その形式の方が分かりやすくまとめられると思ったからである。つまり数式が書きたいのだ。

まず線形代数を書く前に、はてブロで数式を記述する練習をしたいと思う。

$\LaTeX$ 記法を反映させる

ari23.hatenablog.com

数式を書く基本的な操作は、 [tex: と ] で囲むことである。さらにいうと、これらで囲むことによって数式に限らず $\LaTeX$ 記法が有効になる。

[tex:\LaTeX]

$\LaTeX$

よく忘れるので数学のTeX記法をまとめ - Qiita

ここに $\LaTeX$ 記法についてまとめたサイトがある。これを参考にいろいろ書いてみる。

一次関数

まずは一次関数 f(x) = ax + b を書いてみる。

[tex: f(x) = ax + b ]

$f(x) = ax + b$

変数が斜体（イタリック）になった。数式っぽくなっている。

もしセンタリングしたいのであれば、htmlタグを使う。

<div align="center">
[tex:
f(x) = ax + b
]
</div>

$f(x) = ax + b$

この例からも分かるとおり、 [tex: と ] の間には改行があっても $\LaTeX$ 記法はできる。

三角関数

次に三角関数 f(x) = sin(2πx) を書いてみる。

<div align="center">
[tex: f(x) = sin(2 \pi x) ]
</div>

$f(x) = sin(2 \pi x)$

$\pi$ は $\LaTeX$ 記法だと \pi で表せる。しかし、 sin が斜体になってしまっている。普通、三角関数は斜体ではなく立体（通常の字体）で表すので、違和感がある。さらに言えば、変数は斜体で書くという慣例があるため、これだと $f(x) = s \times i \times n \times (2 \times \pi \times x)$ と受け取られてしまう可能性がある。

なので斜体にならないようにする。幸い $\LaTeX$ 記法では \sin が用意されているのでそれを用いる。

<div align="center">
[tex: f(x) = \sin (2 \pi x) ]
</div>

$f(x) = \sin (2 \pi x)$

$\sin$ が立体になった。

斜体と立体とギリシャ文字

斜体と立体でどう違うのかを確かめてみる。

<div align="center">
[tex: a \; \rm{a} \; \it{a} ]
<div>

$a \; \rm{a} \; \it{a}$

左から、規定、立体指定（\rm{ }）、斜体指定（\it{ }）である。 $a$ については、規定で斜体になっていること、立体と斜体で見え方が異なっていることが分かる。また、\; で文字と文字の間にスペースを挿入することができる。

ついでに $\pi$ を斜体にしてみたりしてみなかったりしてみる。

<div align="center">
[tex: \pi \; \rm{\pi} \; \it{\pi} ]
</div>

$\pi \; \rm{\pi} \; \it{ \pi }$

$\pi$ だと違いがない。

<div align="center">
[tex: \Pi \; \rm{\Pi} \; \it{\Pi} ]
</div>

$\Pi \; \rm{\Pi} \; \it{\Pi}$

[tex; \pi ] を $\Pi$ に、つまり小文字から大文字にしてみた。変わった。

texでの細かい話4。ギリシャ文字について - D_PLIUS’s blog

どうやら規定では、ギリシャ文字の小文字は斜体、大文字は通常の字体になるらしい。はてブロの数式で立体のギリシャ文字の小文字を使う方法は多分ないっぽい？　μ*1とかSI単位系の $10^{-6}$ を表すためにほしいと思うのですが。

多分「線形代数を学びなおす」シリーズでは使わないだろうし一旦ほっとこう。

オイラーの公式

オイラーの公式を書いてみる。

<div align="center">
[tex:
\begin{eqnarray}
\sin \theta & = & \sum^{\infty}_{n=0} & \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} & \theta ^{2n+1} \\ 
\cos \theta & = & \sum^{\infty}_{n=0} & \frac{(-1)^n}{(2n)!} & \theta^{2n} \\
e^{\theta} & = & \sum^{\infty}_{n=0} & \frac 1 {n!} & \theta ^n
\end{eqnarray}
]
</div>

$\begin{eqnarray} \sin \theta & = & \sum^{\infty}_{n=0} & \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} & \theta ^{2n+1} \\ \cos \theta & = & \sum^{\infty}_{n=0} & \frac{(-1)^n}{(2n)!} & \theta^{2n} \\ e^{\theta} & = & \sum^{\infty}_{n=0} & \frac 1 {n!} & \theta ^n \end{eqnarray}$

学ぶことが多いので箇条書きで。

数式郡を \begin{eqnarray} \end{eqnarray} で囲むことで複数の数式を整理して記述することができる。 & で位置をそろえ、 \\ で改行する。
- 【20210621追記】 eqnarray を使用する場合、htmlタグ <div> </div> で囲まないと & が $amp;$ に化ける。必ず併用すること。ちなみに <span> </span> では駄目だった。
\theta で $\theta$ を出力する。
\sum^{《上部添え字》}_{《下部添え字》} で総和記号の $\sum^{《上部添え字》}_{《下部添え字》}$ を出力する。
\infty で無限を表す記号 $\infty$ を出力する。
\frac{《分子》}{《分母》} で分数 $\frac{《分子》}{《分母》}$ を出力する。
^{《上付き文字》} で上付き文字を出力する。通常は指数を書く。
自然対数の底 $e$ はそのまま eと書く。
{ } については1文字だけなら省略できる。

ここからオイラーの公式を導く式を記述してみる。ここで、 $i^{2} = -1$ である。

<div align="center">
[tex:
\begin{eqnarray}
e^{ix} & =& \sum^{\infty}_{n=0} \frac{i^n}{n!}x^n && \\
&=&\sum^{\infty}_{n=0} \frac{i^{2n}}{(2n)!} x^{2n} &+& \sum^{\infty}_{n=0} \frac{i^{2n+1}}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\
&=&\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &+i& \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\
&=& \cos x &+i& \sin x
\end{eqnarray}
]
</div>

$\begin{eqnarray} e^{ix} & =& \sum^{\infty}_{n=0} \frac{i^n}{n!}x^n && \\ &=&\sum^{\infty}_{n=0} \frac{i^{2n}}{(2n)!} x^{2n} &+& \sum^{\infty}_{n=0} \frac{i^{2n+1}}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\ &=&\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &+i& \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\ &=& \cos x &+i& \sin x \end{eqnarray}$

オイラーの公式を導き出せた。

ベクトルと行列を記述する。

ベクトルは色々な記述方法がある。好きなものを使おう。

<div align="center">
[tex: \vec{a} \; \vec{AB} \; \overrightarrow{a} \; \overrightarrow{AB} \; \boldsymbol{a} ]
</div>

$\vec{a} \; \vec{AB} \; \overrightarrow{a} \; \overrightarrow{AB} \; \boldsymbol{a}$

このシリーズでは、 \overrightarrow を用いる*2。

$3 \times 3$ 行列を記述してみる。

$A=\mathbf{A}= \begin{bmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

\mathbf{ } で太字にできる。 \begin{bmatrix} \end{bmatrix} で囲むことで大かっこの行列が、 begin{pmatrix} \end{pmatrix} なら小かっこの行列が出力される。このシリーズでは行列を斜体で表し、 \begin{bmatrix} \end{bmatrix} の方を主に使用する。要素は & で並べ、 \\ で改行する。

<div align="center">
[tex:
E=I=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 1 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 1
\end{bmatrix}
]
</div>

$E=I= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$